역삼각함수

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역삼각함수 관련해서 외워두고 있어야 할 공식들이 많은 편입니다.
여기 나오는 공식들은 다 외워두셔야 합니다.

역함수

어떤 함수에서 정의역과 치역이 일대일 대응인 경우 역함수가 존재합니다.
역함수에서는 정의역과 치역이 바뀌게 됩니다.

역삼각함수

역삼각함수는 삼각함수의 역함수입니다.

삼각함수의 역함수를 ${\sin}^{-1}(x)$로 나타내면 $\displaystyle \frac{1}{\sin x}$ 와 헷갈릴 수 있습니다.
그래서 ${\sin}^{-1}(x)$ 를 $\displaystyle \arcsin (x)$ 로 쓰기도 합니다.

주치

삼각함수는 일대일 대응이 아니기 때문에 역함수를 정의하려면 정의역을 제한하는 것이 필요합니다.
역삼각함수의 함수의 정의를 만족하기 위해서 x의 하나의 값에 대해서 y의 값이 하나만이 대응되도록 x값을 적당히 제한해 준 범위가 주치입니다.

즉, 역삼각함수가 존재하는 구간을 주치(Principle value)라고 합니다.
주치는 다음과 같습니다.

아크사인 arcsin
$\displaystyle {−1} \le x \le 1$
$\displaystyle -{\frac{\pi }{2}} \le y \le {\frac{\pi }{2}}$

아크코사인 arccos
$\displaystyle {−1} \le x \le 1$
$\displaystyle {0} \le y \le {\pi}$

아크탄젠트 archtan
x는 모든 실수
$\displaystyle {0} < y < {\pi}$

역삼각함수의 그래프

역함수 그래프는 원래 함수와 $y=x$에 대칭이기 때문에 역삼각함수의 그래프는 다음과 같습니다.

아크사인 arcsin

아크코사인 arccos

아크탄젠트 archtan

삼각함수와 역삼각함수의 관계

$\displaystyle \sin \left({\sin}^{-1} x \right) = x$

$\displaystyle \cos \left({\sin}^{-1} x \right) = \sqrt{1-x^2 }$

$\displaystyle \cos \left({\cos}^{-1} x \right) = x$

$\displaystyle \sin \left({\cos}^{-1} x \right) = \sqrt{1-x^2 }$

$\displaystyle \tan \left({\tan}^{-1} x \right) = x$

역삼각함수 사이의 관계

(1)

$\displaystyle {\sin}^{-1}(x)+{\cos}^{-1}(x) = {\frac{\pi }{2}}$

$\displaystyle {\tan}^{-1}(x)+{\cot}^{-1}(x) = {\frac{\pi }{2}}$

$\displaystyle {\sec}^{-1}(x)+{\csc}^{-1}(x) = {\frac{\pi }{2}}$

(2)

$\displaystyle {\cos}^{-1}(x)+{\cos}^{-1}(-x) = \pi$

$\displaystyle {\cot}^{-1}(x)+{\cot}^{-1}(-x) = \pi$

$\displaystyle {\sec}^{-1}(x)+{\sec}^{-1}(-x) = \pi$

(3)

$\displaystyle {\sin}^{-1}(-x)= -{\sin}^{-1}(x)$

$\displaystyle {\tan}^{-1}(-x)= -{\tan}^{-1}(x)$

$\displaystyle {\csc}^{-1}(-x)= -{\csc}^{-1}(x)$

(4)

$\displaystyle {\csc}^{-1}(x)= {\sin}^{-1}\left({\frac{1}{x}}\right)$

$\displaystyle {\cot}^{-1}(x)= {\tan}^{-1}\left({\frac{1}{x}}\right)$

$\displaystyle {\sec}^{-1}(x)= -{\cos}^{-1}\left({\frac{1}{x}}\right)$

역삼각함수의 도함수

$\displaystyle (\sin^{-1}x)^\prime= \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

$\displaystyle (\cos^{-1}x)^\prime= - \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

$\displaystyle (\tan^{-1}x)^\prime= \frac{1}{1+x^2}$

$\displaystyle (\cot^{-1}x)^\prime= - \frac{1}{1+x^2}$

$\displaystyle (\sec^{-1}x)^\prime= \frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}$

$\displaystyle (\csc^{-1}x)^\prime= - \frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}$

역삼각함수의 부정적분

$\displaystyle \int \frac{1}{ \sqrt{1-x^2}} dx = {\sin}^{-1} (x) + C$

$\displaystyle \int \frac{1}{1+x^2} dx = \tan^{-1} (x) + C$

$\displaystyle \int \frac{1}{x \sqrt{x^2-1} } dx = \sec^{-1} (x) + C$

다음과 같이 공식카드도 만들어봤습니다.

앞으로도 이런 공식카드를 만들 예정입니다.
카드 사이즈는 똑같이 만들 거에요.
밑에 링크에서 다운받아 가세요.

https://blog.naver.com/woxion/222610978973